Урок 7 — Графики в Matlab. Построение графиков и таблиц в Матлабе

1. Построение таблиц значений функции одной переменной в пакете MatLab

Отображение функции в виде таблицы удобно, если имеется сравнительно небольшое число значений функции. Пусть требуется вывести в командное окно таблицу значений функции

в точках 0.2, 0.3, 0.5, 0.8, 1.3, 1.7, 2.5. 
Задача решается в два этапа. 
1. Создается вектор-строка  х,  содержащая координаты заданных точек. 
2. Вычисляются значения функции y(х)от каждого элемента вектора хи записываются полученные значения в вектор-строку  у. 
Значения функции необходимо найти для каждого из элементов вектор-строки х, поэтому операции в выражении для функции должны выполнятьсяпоэлементно.

» х = [0.2 0.3 0.5 0.8 1.3 1.7 2.5] 
х = 
0.2000  0.3000  0.5000  0.8000  1.3000  1.7000  2.5000 » у = sin(x).^2./(l+cos(x))+exp(-x).*log(x) 
У = 
-1.2978 -0.8473 -0.2980  0.2030  0.8040  1.2258  1.8764

Обратите внимание, что при попытке использования операций возведения в степень ^, деления / и умножения * (которые не относятся к поэлементным) выводится сообщение об ошибке уже при возведении sin(x) в квадрат:

» у = sin(х)^2/(1+соз(х))+exp(-x)*log(x) 
??? Error using ==> ^ 
Matrix must be square.

Дело в том, что в MatLab операции * и ^ применяются для перемножения матриц соответствующих размеров и возведения квадратной матрицы в степень. 
Таблице можно придать более удобный для чтения вид, расположив значения функции непосредственно под значениями аргумента:

» х 
х = 
0.2000  0.3000  0.5000  0.8000  1.3000  1.7000  2.5000 » у 
у = 
-1.2978 -0.8473 -0.2980  0.2030  0.8040  1.2258  1.8764

Часто требуется вывести значение функции в точках отрезка, отстоящих друг от друга на равное расстояние (шаг). Предположим, что необходимо вывести таблицу значений функции y(х)наотрезке [1, 2] с шагом 0.2. Можно, конечно, ввести вектор-строку значений аргумента х=[1, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2.0] из командной строки и вычислить все значения функции так, как описано выше. Однако, если шаг будет не 0.2, а, например 0.01, то предстоит большая работа по вводу вектора х. 
В MatLab предусмотрено простое создание векторов, каждый элемент которых отличается от предшествующего на постоянную величину, т.е. на шаг. Для ввода таких векторов служит двоеточие (не путайте с индексацией при помощи двоеточия). Следующие два оператора приводят к формированию одинаковых вектор-строк. Условно можно записать

» х = [1, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2.0] 
х = 
1.0000   1.2000   1.4000   1.6000   1.8000   2.0000 
» х = [1:0.2:2] 
х = 
1.0000   1.2000   1.4000   1.6000   1.8000   2.0000

Условно можно записать

х = [начальное значение : шаг : конечное значение]

Необязательно заботиться о том, чтобы сумма предпоследнего значения  шага равнялась бы конечному значению, например, при выполнении следующего оператора присваивания

» х = [1:0.2:1.9] 
х = 
1.0000  1.2000  1.4000  1.6000  1.8000

Вектор-строка заполнится до элемента, не превосходящего определенное нами конечное значение. Шаг может быть и отрицательным:

» х = [1.9:-0.2:1] 
х = 
1.9000  1.7000  1.5000  1.3000  1.1000

В случае отрицательного шага для получения непустой вектор-строки начальное значение должно быть больше конечного. 
Для заполнения вектор-столбца элементами, начинающимися с нуля и заканчивающимися 0.5 с шагом 0.1, следует заполнить вектор-строку, а затем использовать операцию транспонирования:

» х = [0:0.1:0.5]' 
х = 
0 
0.1000 
0.2000 
0.3000 
0.4000 
0.5000

Обратите внимание, что элементы вектора, заполняемого при помощи двоеточия, могут быть только вещественными, поэтому для транспонирования можно использовать апостроф вместо точки с апострофом. 
Шаг, равный единице, допускается не указывать при автоматическом заполнении:

» х = [1:5] 
х = 
1  2  3  4  5

Пусть требуется вывести таблицу значений функции

на отрезке [0, 1] с шагом 0.05, 
Для выполнения этого задания необходимо произвести следующие действия: 
1. Сформировать вектор-строку  х  при помощи двоеточия. 
2. Вычислить значения у(х)отэлементов х. 
3. Записать результат в вектор-строку  y. 
4. Вывести  хи у.

» х = [0:0.05:1]; 
» у = ехр(-х).*sin(10*x); 
» х 
х = 
Columns 1 through 7 
О  0.0500  0.1000  0.1500  0.2000  0.2500  0.3000
Columns 8 through 14 
0.3500  0.4000  0.4500  0.5000  0.5500  0.6000  0.6500
Columns 15 through 21 
0.7000  0.7500  0.8000  0.8500  0.9000  0.9500  1.0000
» у 
У = 
Columns 1 through 7 
0  0.4560  0.7614  0.8586  0.7445  0.4661  0.1045
Columns 8 through 14 
-0.2472 -0.5073 -0.6233 -0.5816 -0.4071  -0.1533  0.1123
Columns 15 through 21 
0.3262  0.4431  0.4445  0.3413  0.1676  -0.0291 -0.2001

Вектор-строки x и yсостоят из двадцати одного элемента, и не помещается на экране в одну строку, поэтому выводятся по частям. Так как х иy хранятся в двумерных массивах размерностью один на двадцать один, то выводятся по столбцам, каждый из которых состоит из одного элемента. Сначала выводятся столбцы с первого по седьмой (columns 1 through 7), затем - с восьмого по четырнадцатый (columns 8 through 14), и, наконец, - с пятнадцатого по двадцать первый (columns 15 through 21). Более наглядным и удобным является графическое представление функции.

2. Построение графиков функции одной переменной

2.1. Графики функций в линейном масштабе

MatLab обладает хорошо развитыми графическими возможностями для визуализации данных. Рассмотрим в начале построение простейшего графика функции одной переменной на примере функции

,

определенной на отрезке [0, 1]. Вывод функции в виде графика состоит из следующих этапов: 
1. Задание вектора значений аргумента х. 
2. Вычисление вектора у значений функции y(х). 
3. Вызов команды  plot  для построения графика. 
Команды для задания вектора х и вычисления функции лучше завершать точкой с запятой для подавления вывода в командное окно их значений (после команды plot точку с запятой ставить необязательно, т. к. она ничего не выводит в командное окно).

» х = [0:0.05:1]; 
» у = ехр(-х).*sin(10*x); 
» plot(x, у)

После выполнения команд на экране появляется окно Figure No. 1 с графиком функции. Окно содержит меню, панель инструментов и область графика. В дальнейшем будут описаны команды, специально предназначенные для оформления графика. Сейчас нас интересует сам принцип построения графиков и некоторые простейшие возможности визуализации функций. 
Для построения графика функции в рабочей среде MatLab должны быть определены два вектора одинаковой размерности, например х и у. Соответствующий массив х содержит значения аргументов, а у — значения функции от этих аргументов. Команда plot соединяет точки с координатами (x(i), y(i)) прямыми линиями, автоматически масштабируя оси для оптимального расположения графика в окне. При построении графиков удобно расположить на экране основное окно MatLab и окно с графиком рядом так, чтобы они не перекрывались. 
Построенный график функции имеет изломы. Для более точного построения графика функцию необходимо вычислить y(х) в большем числе точек на отрезке [0, 1], т.е. задать меньший шаг при вводе вектора х:

» х = [0:0.01:1]; 
» у = ехр(-х).*sin(10*x); 
» plot(x, у)

В результате получается график функции в виде более плавной кривой. 
Сравнение нескольких функций удобно производить, отобразив их графики на одних осях. Например, построим на отрезке [-1, -0.3] графики функций 
, 

при помощи следующей последовательности команд:

» х = [-1:0.005:-0.3]; 
» f = sin(x.^-2); 
» g = sin(1.2*x.^-2); 
» plot(x, f, x, g)

Функции необязательно должны быть определены на одном и том же отрезке. В этом случае при построении графиков MatLab выбирает максимальный отрезок, содержащий остальные. Важно только в каждой паре векторов абсцисс и ординат указать соответствующие друг другу вектора, например:

» х1 = [-1:0.005:-0.3]; 
» f = sin(x1.^-2); 
» х2 = [-1:0.005:0.3]; 
» g = sin(1.2*x2.^-2); 
» plot(x1, f, x2, g)

Аналогичным образом при помощи задания в plot через запятую пар аргументов вида: вектор абсцисс, вектор ординат, осуществляется построение графиков произвольного числа функций.

Замечание 1

Использование plot с одним аргументом - вектором - приводит к построению "графика вектора", т.е. зависимости значений элементов вектора от их номеров. Аргументом plot может быть и матрица, в этом случае на одни координатные оси выводятся графики столбцов. 
Иногда требуется сравнить поведение двух функций, значения которых сильно отличаются друг от друга. График функции с небольшими значениями практически сливается с осью абсцисс, и установить его вид не удается. В этой ситуации помогает функция plotyy, которая выводит графики в окно с двумя вертикальными осями, имеющими подходящий масштаб. 
Сравните, например, две функции:   и  

» х = [0.5:0.01:3]; 
» f = х.^-3; 
» F = 1000*(х+0.5).^-4; 
» plotyy(x, f, x, F)

При выполнении этого примера обратите внимание, что цвет графика совпадает с цветом соответствующей ему оси ординат. 
Функция plot использует линейный масштаб по обеим координатным осям. Однако MatLab предоставляет пользователю возможность строить графики функций одной переменной в логарифмическом или полулогарифмическом масштабе.

2.2. Графики функций в логарифмических масштабах

Для построения графиков в логарифмическом и полулогарифмическом масштабах служат следующие функции: 
- loglog (логарифмический масштаб по обеим осям); 
- semilogx (логарифмический масштаб только по оси абсцисс); 
-semilogy (логарифмический масштаб только по оси ординат).

Аргументы loglog, semilogx и semilogy задаются в виде пары векторов значений абсцисс и ординат так же, как для функции plot, описанной в предыдущем пункте. Построим, например, графики функций   и    на отрезке [0.1, 5] в логарифмическом масштабе по оси х:

» х = [0.1:0.01:10]; 
» f = log(0.5*x); 
» g = sin(log(x)); 
» semilogx(x, f, x ,g)