Урок 6 — Матрицы. Работа с матрицами в MatLab. Примеры

1. Различные способы ввода матриц в пакете MatLab

Вводить небольшие по размеру матрицы удобно прямо из командной строки. Введите матрицу размерностью два на три

.

Для хранения матрицы используйте двумерный массив с именем A. При вводе учтите, что матрицу А можно рассматривать как вектор-столбец из двух элементов, каждый из которых является вектор-строкой длиной три, следовательно, строки при наборе отделяются точкой с запятой:

» А = [3  1  -1;  2  4  3] 
А = 
3 1   -1 
2    4    3

Для изучения простейших операций над матрицами приведем еще несколько примеров. Рассмотрим другие способы ввода. Введите квадратную матрицу размера три так, как описано ниже:

.

Начните набирать в командной строке

» В = [4  3  -1

Нажмите клавишу <Enter>. Обратите внимание, что пакет ничего не вычислил. Курсор мигает на следующей строке без символа ». Продолжите ввод матрицы построчно, нажимая в конце каждой строки <Enter>. Последнюю строку завершите закрывающей квадратной скобкой, получается:

2  7  0
-5 1  2]
B = 
4  3 -1
2  7  0
-5  1  2

Еще один способ ввода матриц состоит в том, что матрицу можно трактовать как вектор-строку, каждый элемент которой является вектор-столбцом. Например, матрицу два на три

можно ввести при помощи команды:

» С = [[3; 4]  [-1; 2]  [7; 0]] 
С =
3  -1   7
4    2   0

Посмотрите переменные рабочей среды, набрав в командной строке whos:

А       2x3    48 double array 
В       3x3    72 double array 
С       2x3    48 double array

Итак, в рабочей среде содержится три матрицы, две прямоугольные и одна квадратная.

2. Обращение к элементам матриц в пакете MatLab

Доступ к элементам матриц осуществляется при помощи двух индексов - номеров строки и столбца, заключенных в круглые скобки, например

» С(2, 3) 
ans = 
0

Элементы матриц могут входить в состав выражений:

» С(1, 1) + С(2, 2) + С(2, 3) 
ans = 
5

Расположение элементов матрицы в памяти компьютера определяет еще один способ обращения к ним. Матрица А размера m на n хранится в виде вектора длиныmn, в котором элементы матрицы расположены один за другим по столбцам

[А(1,1) А(2,1) ... А(m,1) ... А(1,n) А(2,n) ... А(m,n)].

Для доступа к элементам матрицы можно использовать один индекс, задающий порядковый номер элемента матрицы в векторе. 
Матрица С, определенная в предыдущем подразделе, содержится в векторе

[C(1,1) C(2,1) C(1,2) С(2,2) С(1,3) С(2,3)],

который имеет шесть компонент. Доступ к элементам матрицы осуществляется следующим образом:

» С(1) 
ans = 
3 
» С(5) 
ans = 
7

3. Операции над матрицами в пакете MatLab: сложение, вычитание, умножение, транспонирование и возведение в степень

При использовании матричных операций следует помнить, что для сложения или вычитания матрицы должны быть одного размера, а при перемножении число столбцов первой матрицы обязано равняться числу строк второй матрицы. Сложение и вычитание матриц, так же как чисел и векторов, осуществляется при помощи знаков плюс и минус. Найдите сумму и разность матриц С и А,определенных выше:

» S = А+С                   
S =
6    0    6 
6    6    3 
» R = С - А 
R = 
0   -2    8 
2   -2   -3

Следите за совпадением размерности, иначе получите сообщение об ошибке:

» S = А+В 
??? Error using ==> ± 
Matrix dimensions must agree.

Для умножения матриц предназначена звездочка:

» Р = С*В 
P = 
-25   9   11 
20   26   -4

Умножение матрицы на число тоже осуществляется при помощи звездочки, причем умножать на число можно как справа, так и слева:

» Р = А*3 
Р = 
9   3  -3
6  12  -3 
» Р = 3*А 
Р =
9   3  -3
6  12   9

Транспонирование матрицы, так же как и вектора, производится при помощи .', а символ ' означает комплексное сопряжение. Для вещественных матриц эти операции приводят к одинаковым результатам:

» В' 
ans = 
4  2 -5
3  7  1
-1  0  2

» В.' 
ans = 
4  2 -5
3  7  1
-1  0  2

Замечание 1

Если матрица  есть произвольная матрица размера n m, то матрица, транспонированная по отношению к А,есть матрица размера m n:    Таким образом, строки матрицы  становятся столбцами матрицы , а столбцы матрицы  становятся строками матрицы .
Комплексно-сопряженная матрица получается из исходной в два этапа: выполняется транспонирование исходной матрицы, а затем все комплексные числа заменяются на комплексно-сопряженные. 

Сопряжение и транспонирование матриц, содержащих комплексные числа, приведут к созданию разных матриц:

»K= [l-i, 2+3i; 3-5i, l-9i] 
К = 1.0000 – 1.0000i     2.0000 + 3.0000i
3.0000 – 5.0000i     1.0000 – 9.0000i
»K' 
ans = 
1.0000 + 1.0000i     3.0000 + 5.0000i
2.0000 – 3.0000i     1.0000 + 9.0000i

» K.' 
ans = 
1.0000 - 1.0000i     3.0000 - 5.0000i
2.0000 + 3.0000i     1.0000 - 9.0000i

Замечание 2

При вводе вектор-строк их элементы можно разделять или пробелами, или запятыми. При вводе матрицы К применены запятые для более наглядного разделения комплексных чисел в строке.

Возведение квадратной матрицы в целую степень производится с использованием оператора ^:

» В2 = В^2
B2 =
27    32   -6
22    55   -2
-28    -6    9

Проверьте полученный результат, умножив матрицу саму на себя. 
Убедитесь, что вы освоили простейшие операции с матрицами в MatLab. Найдите значение следующего выражения

(A + С) В³ (A-С)^Т.

Учтите приоритет операций, сначала выполняется транспонирование, потом возведение в степень, затем умножение, а сложение и вычитание производятся в последнюю очередь.

»(А+С)*В^3*(А-С)' 
ans =
1848   1914 
10290   3612

4.  Умножение матриц и векторов

Вектор-столбец или вектор-строка в MatLab являются матрицами, у которых один из размеров равен единице, поэтому все вышеописанные операции применимы и для умножения матрицы на вектор-столбец или вектор-строки на матрицу. Например, вычисление выражения

можно осуществить следующим образом:

» a = [1 3 -2];
» B = [2 0 1; -4 8 -1; 0 9 2]; 
» c = [-8; 3; 4];
» a*B*c 
ans =
74

5. Блочные матрицы

Очень часто в приложениях возникают так называемые блочные матрицы, т.е. матрицы, составленные из непересекающихся подматриц (блоков). Рассмотрим вначале конструирование блочных матриц. Введите матрицы:  ,  ,  ,   и создайте из них блочную матрицу . 
Учитывая, что матрица К состоит из двух строк, в первой строке матрицы А и B, а во второй - С и D, блочную матрицу можно сформировать следующим образом:

» К = [А В; С D]
K = 
-1   4   2   0
-1   4   0   5
3  -3   8   9
-3   3   1  10

Блочную матрицу можно получить и другим способом, если считать, что матрица Ксостоит из двух столбцов, в первом - матрицы А и С, а во втором - В и D:

» К = [[А; С]  [В; D]]

Обратной задачей к конструированию блочных матриц является задача выделения блоков. Выделение блоков матриц осуществляется индексацией при помощи двоеточия. Введите матрицу

и затем выделите подматрицу с элементами    , задав номера строк и столбцов при помощи двоеточия:

»Р1 = Р(2:3,2:3)
Р1 =
10   12
11   10

Для выделения из матрицы столбца или строки (то есть массива, у которого один из размеров равен единице) следует в качестве одного из индексов использовать номер столбца или строки матрицы, а другой индекс заменить двоеточием без указания пределов. Например, запишите вторую строку матрицы Р в вектор р

»p = P(2, :) 
p = 
4  10  12  5

При выделении блока до конца матрицы можно не указывать ее размеры, а использовать элемент end:

»p = Р(2,  2:end) 
p = 
10  12  5

6. Удаление строк и столбцов

В MatLab парные квадратные скобки [ ] обозначают пустой массив, который, в частности, позволяет удалять строки и столбцы матрицы. Для удаления строки следует присвоить ей пустой массив. Удалите, например, первую строку квадратной матрицы:

» М = [2 0 3
1 1 4
6 1 3];
» M(1,:)=[];
» M 
M = 
1  1  4
6  1  3

Обратите внимание на соответствующее изменение размеров массива, которое можно проверить при помощи size:

» size(M) 
ans =
2  3

Аналогичным образом удаляются и столбцы. Для удаления нескольких идущих подряд столбцов (или строк) им нужно присвоить пустой массив. Удалите второй и третий столбец в массиве M

» М(:,  2:3) = [] 
M = 
1 
6

Индексация существенно экономит время при вводе матриц, имеющих определенную структуру.

7. Заполнение матриц при помощи индексации

Выше было описано несколько способов ввода матриц в MatLab. Однако часто бывает проще сгенерировать матрицу, чем вводить ее, особенно если она обладает простой структурой. Рассмотрим пример такой матрицы:

.

Генерация матрицы Т осуществляется в три этапа: 
1. Создание массива T размера пять на пять, состоящего из нулей. 
2. Заполнение первой строки единицами. 
3. Заполнение части последней строки минус единицами до последнего элемента. 
Соответствующие команды MatLab приведены ниже.

» A(1:5, 1:5) = 0
A=
0   0   0   0   0
0   0   0   0   0
0   0   0   0   0
0   0   0   0   0
0   0   0   0   0
» A(1, :) = 1
A=
1   1   1   1   1
0   0   0   0   0
0   0   0   0   0
0   0   0   0   0
0   0   0   0   0
» A(end, 3:end) = -1
A=
1   1   1   1   1
0   0   0   0   0
0   0   0   0   0
0   0   0   0   0
0   0  -1  -1  -1

Создание некоторых специальных матриц в MatLab осуществляется при помощи встроенных функций. 

8. Создание матриц специального вида

Заполнение прямоугольной матрицы нулями производится встроенной функцией zeros, аргументами которой являются число строк и столбцов матрицы:

» A = zeros(3, 6)
A = 
0  0  0  0  0  0
0  0  0  0  0  0
0  0  0  0  0  0

Один аргумент функции zeros приводит к образованию квадратной матрицы заданного размера:

» A = zeros(3)
A = 
0  0  0
0  0  0
0  0  0

Единичная матрица инициализируется при помощи функции eye:

» I = eye(4)
I= 
1  0  0  0
0  1  0  0
0  0  1  0
0  0  0  1

Функция eye с двумя аргументами создает прямоугольную матрицу, у которой на главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы равны нулю:

» I = eye(4, 8)
I = 
1  0  0  0  0  0  0  0
0  1  0  0  0  0  0  0
0  0  1  0  0  0  0  0
0  0  0  1  0  0  0  0

Матрица, состоящая из единиц, образуется в результате вызова функции 
ones:

» E = ones(3, 7) 
E =
1  1  1  1  1  1  1
1  1  1  1  1  1  1
1  1  1  1  1  1  1

Использование одного аргумента в ones приводит к созданию квадратной матрицы, состоящей из единиц.

MatLab предоставляет возможность заполнения матриц случайными элементами. Результатом функции rand является матрица чисел, распределенных случайным образом между нулем и единицей, а функции randn — матрица чисел, распределенных по нормальному закону:

» R = rand(3,   5) 
R = 
0.9501  0.4860  0.4565  0.4447  0.9218
0.2311  0.8913  0.0185  0.6154  0.7382
0.6068  0.7621  0.8214  0.7919  0.1763

Один аргумент функций rand и randn приводит к формированию квадратных матриц:
Часто возникает необходимость создания диагональных матриц, т.е. матриц, у которых все недиагональные элементы равны нулю. Функция diag формирует диагональную матрицу из вектор-столбца или вектор-строки, располагая их элементы по диагонали матрицы:

» d = [1; 2; 3; 4]; 
» D = diag(d)
D = 
1  0  0  0
0  2  0  0 
0  0  3  0
0  0  0  4

Функция diag служит и для выделения диагонали матрицы в вектор, например

» A = [10 1 2; 1 20 3; 2 3 30];
» d = diag(A)
d = 
10
20
30

9. Поэлементные операции с матрицами

Поскольку векторы и матрицы хранятся в двумерных массивах, то применение математических функций к матрицам и поэлементные операции производятся так же, как для векторов. 
Введите две матрицы

,  .

Умножение каждого элемента одной матрицы на соответствующий элемент другой производится при помощи оператора .*:

» С = А.*В 
С = 
-2   10  -8
21  -12 -45

Для деления элементов первой матрицы на соответствующие элементы второй используется оператор ./, а для деления элементов второй матрицы на соответствующие элементы первой служит .\:

» R1 = А./В1 
R1 =
-2.0000   2.5000  -0.1250
0.4286  -1.3333  -1.8000
» R2 = А.\В1 
R2 =
-0.5000   0.4000  -8.0000
2.3333  -0.7500  -0.5556

Поэлементное возведение в степень осуществляется при помощи оператора  .^. Показатель степени может быть числом или матрицей того же размера, что и матрица, возводимая в степень. Во втором случае элементы первой матрицы возводятся в степени, равные элементам второй матрицы. 

10. Визуализация матриц

Матрицы с достаточно большим количеством нулей называются разреженными.Часто необходимо знать, где расположены ненулевые элементы, т.е. получить так называемый шаблон матрицы. Для этого в MatLab служит функция spy. Посмотрим шаблон матрицы G 
.

» spy(G)

После выполнения команды spy на экране появляется графическое окно Figure No. 1. На вертикальной и горизонтальной осях отложены номера строк и столбцов. Ненулевые элементы обозначены маркерами, внизу графического окна указано число ненулевых элементов (nz = 19). 
Наглядную информацию о соотношении величин элементов матрицы дает функция imagesc, которая интерпретирует матрицу как прямоугольное изображение. Каждый элемент матрицы представляется в виде квадратика, цвет которого соответствует величине элемента. Для того чтобы узнать соответствие цвета и величины элемента следует использовать команду colorbar, выводящую рядом с изображением матрицы шкалу цвета (Insert (в графическом окне Figure  No.  1),colorbar). Наконец, для печати на монохромном принтере удобно получить изображение в оттенках серого цвета, используя команду colormap(gray) (Edit (в графическом окне Figure No. 1), Colormap, Colormap Editor, Tools, gray). Мы будем работать с матрицей G. Набирайте команды, указанные ниже, и следите за состоянием графического окна:

» imagesc(G) 
» colorbar 
» colormap(gray)

В результате получается наглядное представление матрицы.